Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Kỹ thuật giải phương trình hàm và những vấn đề liên quan của tác giả Trần Minh Hiền.
1 Phương pháp thế biến
Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình hàm. Ta có thể:
• Hoặc cho các biến x, y, . . . nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là 0, ±1, ±2, . . .
• Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt f(x + y) mà muốn có f(0) thì ta thế y bởi −x, muốn có f(x) thì cho y = 0, muốn có f(nx) thì thế y bởi (n − 1)x.
3 Phương pháp quy nạp
Phương pháp này yêu cầu ta trước hết tính f(0), f(1) rồi dựa vào đó tính f(n) với n ∈ N. Sau đó tính f(n) với n ∈ Z. Tính tiếp f(1/n), từ đó suy ra biểu thức của f(r) với r ∈ Q. Phương pháp này thường sử dụng khi cần tìm hàm số xác định trên N, Z, Q.
4 Khai thác tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh, chẵn lẻ của hàm số
Trước tiên ta nhắc lại các khái niệm cơ bản này.
a) Nếu f : R → R là đơn ánh thì từ f(x) = f(y) ta suy ra được x = y.
b) Nếu f : R → R là toàn ánh thì với mỗi y ∈ R, tồn tại x ∈ R để f(x) = y.
c) Nếu f : R → R là song ánh thì ta có cả hai đặc trưng trên.
Nếu một hàm số mà đơn ánh chúng ta rất hay dùng thủ thuật tác động f vào cả hai vế, nếu một hàm f toàn ánh ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f(b) = 0, sau đó tìm b. Nếu quan hệ hàm là hàm bậc nhất của biến ở vế phải thì có thể nghĩ tới hai quan hệ này.
THEO THUVIENTOAN.NET
