Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Hai bổ đề Lifting trong số học của tác giả Lê Phúc Lữ.

Hai bổ đề này mà tác giả muốn nhắc đến ở đây chính là Bổ để nâng lũy thừa LTE và bổ đề Hensel (còn gọi là Hensel Lifting, cũng dùng để nâng lũy thừa trong phương trình đồng dư). Cả hai bổ đề này cũng đã từng xuất hiện cách đây rất lâu trong đề thi VMO.

Tiếp theo, ta xét hai bài toán trong đề VMO trước đây có dùng hai bổ đề trên:
Bài 1. (VMO 1997) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, đều tồn tại k nguyên dương để cho 2^n |19k - 97.

Bài 2. (VMO 2000) Xét đa thức P(x) = x^3 + 153x^2 - 111x + 38. Chứng minh rằng trên [1;3^2000], có đúng 9 số nguyên dương a sao cho 3^2000 | P(a).

Thay vì giải quyết bài toán này, trong điều kiện không dùng máy tính, ta đổi bằng bài toán sau với cùng tính chất của các hệ số.
Bài 3. Xét đa thức P(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 4. Hỏi trên miền [1; 3^2017] thì có bao nhiêu số a thuộc Z để P(a) chia hết cho 3^2017?

Cuối cùng, xin đề cập đến một bài toán có xuất hiện trong đề đề nghị Olympic 30/4 của các tỉnh phía Nam. Đề bài đúng nhưng lời giải trong đáp án bị sai. Bài toán này có liên quan đến số mũ đúng chứ không cần dùng LTE.

Bài 9. (Đề nghị Olympic 30/4) Gọi A là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 100. Hai số x, y thuộc A gọi là liên kết với nhau nếu tồn tại k thuộc Z+ sao cho xy | (x^k + y^k). Hỏi có bao nhiêu cặp số (x, y) liên kết với nhau trong A ?

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET