Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và lời giải chọn đội tuyển dự thi VMO của trường PTNK - ĐHQG TPHCM năm 2018.

Bài 1: Nhận xét.
Ở bài này, nhận xét đầu tiên mang tính quyết định cho bài toán. Nếu lan man vào việc xét trường hợp ngay từ đầu thì rất khó đi đến kết quả. Bài toán chỉ dùng các kết quả nhẹ nhàng về chia hết nhưng cách đặt câu hỏi rất hay.

Bài 3. Cho p là số tự nhiên. Xét phương trình x^3 + x^2 + p = y^2 trên tập số nguyên dương.
a) Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất dạng 4k + 1 sao cho phương trình có nghiệm.
b) Chứng minh rằng nếu p là số chính phương thì phương trình luôn có nghiệm.

Nhận xét.
Ở câu a, việc ứng dụng bổ đề trên là khá tự nhiên. Bổ đề là hệ quả quen thuộc của định lý Fermat nhỏ. Một kết quả tương tự đối với số nguyên tố có dạng 3k + 2 là a^2 + ab + b^2 chia hết cho p khi và chỉ khi a, b cùng chia hết cho p.

Bài 6: 

Nhận xét. Bài toán dùng các kỹ thuật quen thuộc nhưng đòi hỏi nhiều bước nên thí sinh cần chắc các phương trình hàm dạng này thì mới xử lý triệt để được. Hàm xác định trên R+ và cho điều kiện các biến phân biệt cũng gây không ít khó khăn chỉ nắm các phép thế trong phương trình hàm.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET