Đạo hàm của đa thức
Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đạo hàm của đa thức trong các kỳ thi HSG môn Toán của tác giả Lê Phúc Lữ.
Đa thức là một chuyên đề quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán, đặc biệt là VMO. Các năm gần đây, chủ đề đa thức liên quan đến giải tích xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi. Trong đó đạo hàm đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong các dạng toán này.
Để hỗ trợ các bạn học tập, bổ sung kiến thức, thầy Lê Phúc Lữ - Giáo viên chuyên Toán đã sưu tầm và biên soạn một số bài tập đa thức liên quan đến đạo hàm cực kì chất lượng giúp các bạn ôn tập và rèn luyện. Các bài toán này được trích dẫn từ đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành trong nước và từ các kỳ thi học sinh Quốc tế như IMO, China MO, USA MO,...
Trích dẫn tài liệu
A. Kiến thức cần nhớ.
(1) Đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm. Từ đây có thể suy ra các hệ quả sau:
- Nếu P(x) không có nghiệm thì deg P chẵn.
- Nếu P(x) là đa thức bậc chẵn và có nghiệm duy nhất thì đó phải là nghiệm bội chẵn.
(2) Đa thức P(x) = (x - a)^kQ(x) thì P'(x) chia hết cho (x - a)^k-1
(3) Định lý Rolle. Hàm số f(x) liên tục và có a < b để f(a) = f(b) = 0 thì tồn tại c thuộc (a, b) để đạo hàm f'(c) = 0.
(4) Đạo hàm của đa thức bậc n có đầy đủ nghiệm.
Giả sử x1, x2, ..., xn là các nghiệm của P(x). Khi đó, theo định lí Bézout thì
P(x) = (x - x1)(x - x2)... (x - xn)
B. Bài tập vận dụng, rèn luyện.
Hi vọng với tài liệu này các bạn sẽ học tập được những điều bổ ích để chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi toán sắp tới. Chúc các bạn học tốt!
Tài liệu
THEO THUVIENTOAN.NET
