thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc chuyên đề Các bài toán hay và khó về ứng dụng hàng điểm điều hòa. Tài liệu được biên soạn bởi đội ngủ giáo viên là các chuyên gia bồi dưỡng học sinh giỏi tham dự các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế. Hi vọng với chuyên đề các bạn sẽ học tập được nhiều điều bổ ích để phục vụ cho các kỳ thi sắp tới tốt hơn.
Nội dung của chuyên đề bao gồm:

- Các bài toán ứng dụng hàng điểm điều hòa: đây là các bài toán được chọn lọc từ các cuộc thì nổi tiểng như VMO, TST, IMO, hay của các tác giả nổi tiếng như Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Linh, Nguyễn Minh Hà.

- Lời giải chi tiết được biên soạn bởi đội ngủ giáo viên chuyên toán của thuvientoan.net, không chỉ là đơn thuần là lời giải mà còn là các phân tích hướng đi giúp học sinh học tập hiệu quả hơn. Đặc biệt là các nhận xét đặc sắc, đưa ra các mô hình hình học cũng như phát triển mở rộng bài toán giúp học sinh phát triển tư duy tìm tòi sáng tạo.

Trích dẫn: 

Ví dụ 1 (IMO SL 2017 G2) Cho R, S là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O) sao cho RS không phải đường kính. Đường thẳng l tiếp xúc (O) tại R. Gọi T là điểm thoả mãn S là trung điểm của đoạn RT. Điểm J trên cung nhỏ RS của (O) sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm của (JST) và l gần R hơn. AJ cắt (O) lần nữa tại B. Chứng minh rằng BT tiếp xúc (JST).

Ví dụ 2 (Bài giảng trường hè 2017 – Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). L là điểm Lemoine. AL cắt BC tại K và lại cắt (O) tại X.  Chứng minh rằng LA/LX=KA/3KX.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi E là một điểm trên (O). Đường thẳng EA cắt các tiếp tuyến tại B, C của (O) tại các điểm M, N. BN cắt CM tại F. Chứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định khi E di động.