Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Lời giải cho những bài toán khó trong đề thi thử VMO của tác giả Phạm Hy Hiếu.

Lời giải đề lần bốn - Phạm Hy Hiếu - Toán PTNK 07 - 10

Bài toán 1. Với số nguyên dương n nào thì tồn tại đa thức:
Pn(x) = xn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
với hệ số thực sao cho với mọi x thuộc R, Pn(x) > −3 đồng thời:

Pn(−2) = Pn(0) = Pn(2) = 0

Bài toán 2. Cho hàm số f(x) = 2x − sin x. Chứng minh rằng f khả nghịch đồng thời f−1 có thể viết được dưới dạng tổng của một hàm tuyến tính với một hàm tuần hoàn.

Bài toán 3. Cho tam giác ABC. Hình vuông MNPQ nội tiếp 4ABCA và có M, N ∈ Bc. Gọi A' là tâm hình vuông và A” là điểm đối xứng với A' qua BC. Các điểm B”, C” xác định tương tự. Chứng minh rằng AA”, BB”, CC” đồng quy.

Bổ đề. (Định lý Jacobi) Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các tam giác tam giác BXC, CYA, AZB đồng dạng với nhau và lần lượt cân tại X, Y, Z. Khi đó AX, BY, CZ đồng qui.

Bài toán 4. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho 10^n + 3 là hợp số.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET