Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Lời giải chi tiết đề thi chọn Đội tuyển quốc gia Việt Nam dự thi IMO năm 2000.

Bài 3.

Hai người A và B chơi trò chơi như sau:
Đầu tiên A điền một số thực vào một ô trống, tiếp theo B điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại, A lại điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại,... Cứ tiếp tục như thế cho đến khi tất cả các ô trống đã được điền. Kí hiệu đa thức nhận được là P(x)

Người chơi lần cuối cùng bị coi là thua nếu đa thức P(x) có ít nhất một nghiệm thực a sao cho |a| < 1 và sẽ thắng nếu ngược lại.
Chứng minh rằng có một trong hai người nói trên có cách chơi để đảm bảo thắng.

Bài 4.
Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau. Số nguyên dương n được gọi là “số bướng bỉnh” nếu như n không biểu diễn được dưới dạng n = abx + bcy + caz trong đó x, y, z là các số nguyên dương.
Hỏi có tất cả bao nhiêu số bướng bỉnh?

Bài 6.
Xét 2000 đường tròn bán kính r =1 trên mặt phẳng sao cho không có hai đường tròn nào tiếp xúc với nhau và mỗi đường tròn cắt ít nhất với hai đường tròn khác.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của số giao điểm của các đường tròn này.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET