Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đường thẳng Euler và mở rộng của tác giả Trần Quang Hùng.

Bài viết này giới thiệu các mở rộng của đường thẳng Euler với các kiến thức dùng cho THCS
Đường thẳng Euler có thể coi là một trong những định lý quen thuộc nhất của hình học phẳng. Khái niệm đường thẳng Euler trước hết liên quan đến tam giác, sau đó đã được mở rộng và ứng dụng cho tứ giác nội tiếp và cả n-giác nội tiếp, nhưng vì khối lượng kiến thức quá lớn nên trong bài viết nhỏ này tôi chỉ mong muốn trình bày những vấn đề cô đọng xúc tích nhất liên quan đến khái niệm này trong tam giác. Xin hẹn các bạn chuyên đề mở rộng cho đa giác ở những bài giảng tiếp sau.
Bài 1 (Đường thẳng Euler). Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa GH/GO = 2. Đường thẳng nối H, G, O gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC.

Lời giải

Bài toán này có nhiều lời giải, lời giải sau đây sử dụng định lý Thales khá đơn giản, nó là chìa khóa cho một bài tổng quát hơn.
Trên tia đối tia GO lấy H' sao cho GH' = 2GO. Gọi M là trung điểm BC. Theo tính chất trọng tâm thì G thuộc AM và GA = 2GM. Áp dụng định lý Thales vào tam giác GOM dễ suy ra AH' || OM (1).
Mặt khác do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC (2)

Từ (1),(2) suy ra AH0 ⊥ BC, tương tự BH0 ⊥ CA vậy H0 ≡ H là trực tâm tam giác ABC. Theo cách dựng H' ta có ngay kết luận bài toán.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET