Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO sở GDĐT tỉnh Bắc Ninh năm 2018.

Đề thi gồm 5 câu, thời gian làm bài là 180 phút.

Trích một phần đề thi:

Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có trực tâm H. Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn đường kính AH và đường tròn (O) cắt nhau tại T khác A.
AT cắt BC tại Q. NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại R.
a) Chứng minh rằng QR vuông góc OH.
b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong góc BHC cắt đoạn thẳng BC tại I. Gọi K là hình chiếu của A trên HI. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O).
Câu 5. (4,0 điểm)
a) Cho S là tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M là tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt sao cho mỗi số trong M đều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc S. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong M một số số có tích là một số chính phương.
b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có 3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET