Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi IMO - VNTST năm 2011.

Bài 2.
Cho đường (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Gọi P là điểm thuộc tia đối của tia BA, Q là điểm thuộc tia đối của tia CA sao cho PQ tiếp xúc với (O). Qua P kẻ đường thẳng song song với AC và cắt đường thẳng BC tại E. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB và cắt BC tại F.
1. Chứng minh rằng các đường thẳng QE PF , luôn đi qua điểm cố định lần lượt là M, N.
2. Chứng minh rằng tích PM.QN không đổi.
Lời giải.
Trước hết, ta chứng minh nhận xét sau: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) có tiếp điểm của (I) lên AB, AC lần lượt là E, F. Đường thẳng qua B, song song với AC cắt EF tại K; CK cắt AB tại G.
Khi đó, tam giác AGI vuông tại I.

Bài 6.
Có n học sinh ngồi quanh một bàn tròn, trong tay mỗi học sinh có một số kẹo sao cho tổng số kẹo của tất cả các học sinh này là một bội số của n. Ta thực hiện một quy tắc chuyển kẹo như sau: nếu có một học sinh có số kẹo lớn hơn số kẹo của người bạn bên tay phải mình thì ta sẽ
lấy đi của người đó chuyển sang cho người bạn bên tay phải.
Chứng minh rằng với quy tắc trên, sau một số hữu hạn các bước với cách chuyển thích hợp, số kẹo của mỗi học sinh đều bằng nhau.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET