Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đa thức đẹp nhưng có nghiệm xấu của tác giả Lê Phúc Lữ.

Trích dẫn

Trước hết, ta xét bổ đề sau:
Nếu đa thức hệ số nguyên P(x) bậc n > 0, bất khả quy và nhận x = a không thuộc Q là nghiệm thì không tồn tại đa thức hệ số nguyên Q(x) nào có bậc m mà 0

Bài 2. Tìm tất cả đa thức hệ số tự nhiên P(x) sao cho P(1) = 7, P(2) = 2017.

Tiếp theo, có lẽ chúng ta đã khá quen thuộc với bài toán sau của thầy Trần Nam Dũng:
Bài 3. Cho phương trình bậc ba x^3 + 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm là a < b < c, đồng thời a^2 - c = c^2 - b = b^2 - a =2.

Trong đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2017, có một bài tương tự như thế như ở dạng tổng quát hơn có nội dung như sau:
Bài 4. (China TST 2017) Cho đa thức P(x) thuộc Z[x] có bậc ba và ba nghiệm vô tỷ a, b, c phân biệt có tổng là 0. Giả sử tồn tại p, q thuộc Z sao cho a = b^2 +pb +q. Chứng minh rằng T = p^2 - 2p - 4q - 7 là số chính phương.

TÀI LIỆU

THEO THUVIENTOAN.NET