Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Các bài toán tồn tại trong giải tích.

Giải tích là một chủ đề quan trọng trong Toán học hiện đại nói chung và các bạn học sinh chuyên Toán nói riêng. Trong đề thi học sinh giỏi ở bậc THPT, luôn có một số câu hỏi nhất định về Giải tích. Các câu hỏi này không quá khó, tuy nhiên lại thuộc phạm trù của Toán Cao cấp nên cũng gây một số khó khăn nhất định với các bạn học sinh.

Để giúp các bạn học sinh ôn thi HSG Toán học tốt chuyên đề này, thầy Lê Phúc Lữ - Giáo viên chuyên luyện thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế đã dày công biên soạn này nhằm giúp các bạn phần nào hiểu rõ hơn về Giải tích trong các kỳ thi HSG môn Toán như VMO, TST, IMO,... 

Trích dẫn tài liệu

Định lý Lagrange, Rolle và định lý trung gian luôn cho những đẳng thức thú vị liên quan đến các hàm khả vi, những bài toán tồn tại nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện cho trước, ...
Chẳng hạn, ta biết rằng nếu f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn f(a) = f(b) = 0 với a < b là các số thực nào đó thì theo định lý Rolle, sẽ có c thuộc (a, b) sao cho f'(c) = 0.

Tuy nhiên, ta có thể làm bài toán khó hơn thế!
Xét hàm số g(x) = f(x).e^x thì rõ ràng g(a) = g(b) = 0, cũng giống như trên, nhưng lúc bấy giờ, đạo hàm sẽ là g'(x) = e^x(f(x) + f'(x)) nên tồn tại c thuộc (a, b) để f(c) + f'(c) = 0.

Không dừng lại ở hàm e^x, ta có thể thay bằng e^x^2, e^sinx,... để có các tình huống ấn tượng khác (và cũng không kém phần mẹo mực!).

Các bài toán sử dụng định lý Rolle, Lagrange như vậy có rất nhiều trong các kỳ thi nhưng ta không đề cập nhiều ở đây, tiếp theo ta xét một số bài chỉ sử dụng thuần túy định lý giá trị trung gian trong hàm liên tục.

Hy vọng các bạn sẽ học được nhiều kiến thức bổ ích.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET