Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bài tập luyện thi chọn đội tuyển IMO năm 2017 của tác giả Lê Phúc Lữ.

Các bài toán dưới đây có tham khảo thêm từ một số nguồn khác nhau: đề trường hè, trường Đông, trường Xuân TPHCM, đề thi HSG cấp quốc gia, chọn đội tuyển của một số nước, đề của thầy Phạm Huy Tùng, anh Võ Quốc Bá Cẩn, anh Lê Hồng Quý, bạn Nguyễn Đình Toàn.

Bài 8. Cho đa thức f (x) = x^8 + x^7 . Mỗi lần ta được phép thực hiện một trong hai thao tác: đạo hàm đa thức này hoặc nhân thêm vào đa thức x +1. Giả sử sau 2017 lần thực hiện, ta thu được đa thức ax + b. Chứng minh rằng 2(a - b) chia hết cho 2016.

Bài 9. Gọi P là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 2018. Một số nguyên dương n được gọi là “kì lạ” nếu n chỉ có các ước nguyên tố thuộc P và không tồn tại các số nguyên dương a, d nào thỏa mãn điều kiện: các số a, a + d, a + 2d,..., a + 2018d đều nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.
a) Chứng minh N là số “kì lạ”.
b) Hỏi có tồn tại hay không số kì lạ n mà n > N ?

Bài 2. Có quốc gia là Đông Doanh Nam Quốc và Tây Lương Nữ Quốc. Đông Doanh Nam Quốc thì chỉ toàn con trai, Tây Lương Nữ Quốc thì chỉ toàn con gái. Con trai bên nam quốc rất thích theo đuổi con gái bên nữ quốc nhưng cũng rất lăng nhăng nên một người có thể theo đuổi nhiều cô. Mỗi người con gái thì có 1 chỉ số quyến rũ riêng, ta ký hiệu f (y) là chỉ số quyến rũ của y.
Biết rằng, nếu người con trai x theo đuổi người con gái y thì ta có ràng buộc

u( y) <= v(x). f (y),

trong đó v(x) là số người con gái mà x theo đuổi, u(y) là số người con trai đang theo đuổi y.
Chứng minh rằng số dân trong Đông Doanh Nam Quốc không lớn hơn tổng các chỉ số quyến rũ của những người con gái trong Tây Lương Nữ Quốc.

Bài 6. Số 20162017 khi viết trong hệ nhị phân có dạng 1001100111010010111100001.Đây là
một dãy số nhị phân có các tính chất sau:
 Có 6 cặp 00 .
 Có 6 cặp 11.
 Có 6 cặp 10.
 Có 6 cặp 01.
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên khi viết trong hệ nhị phân cũng có các tính chất như trên?

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET