Về số chính phương trong dãy số và một số vấn đề liên quan

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Về số chính phương trong dãy số và một số vấn đề liên quan.

Tóm tắt nội dung: Các bài toán liên quan số chính phương trong dãy số đang trở thành một dạng bài hay gặp trong các năm gần đây ở các đề chọn đội tuyển cũng như thi HSG.

Bài viết gồm nội dung như sau:

I) Chứng minh tính chính phương của một dãy số

II) Chứng minh các số hạng của dãy là tổng của 2 số chính phương

III) Thú vị về câu hỏi số dãy phụ?
Như đã thấy ở phần I) có thể tạo rất nhiều dãy phụ. Vậy câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu dãy phụ có thể sử dụng để giải quyết bài toán. Để trả lời câu hỏi này cần phải để ý một chút kiến thức về phương trình Pell.
Ta quay lại bài toán 1 rõ ràng việc ta chọn m = 3 đã dẫn tới số dãy phụ cũng bằng với số cách chọn bộ số (a, b) ứng với các giá trị khởi đầu. Như vậy thực chất ta cần tìm nghiệm của phương trình: a^2 + b^2 − 3ab = −1. Và bằng cách đưa về PT Pell, ta dễ thấy nghiệm tổng quát của nó là hai số hạng liên tiếp của dãy số sau:
u0 = 1, u1 = 1, un+1 = 3un − un−1. Đồng nghĩa với vô số cách tạo dãy phụ mà a, b ứng với các số hạng liên tiếp của dãy trên.

Vậy để trả lời câu hỏi về số cách đặt dãy phụ tức là đồng thời đưa ta tới câu hỏi về
nghiệm của PT sau:
a^2 + b^2 − abm = p với a, b, m, p ∈ Z và m, p cố định.
Một mối liên hệ đẹp giữa kết quả ta đang bàn và phương trình Pell.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET

Liên hệ
Tin liên quan
    2020 Copyright © THUVIENTOAN.NET Web Design by Nina.vn
    Online: 22   |   Total: 136948
    Hotline tư vấn miễn phí: 0907233487
    icon zalo

    Về số chính phương trong dãy số và một số vấn đề liên quan