Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Phân tích và mở rộng bài toán số học trong kỳ thi VMO năm 2013.

Trước tiên xin nhắc lại câu số học trong đề VMO 2013.

Để đếm được số bộ thoả đề bài thì ta chuyển về đếm bộ (a, b, c, a', b', c') thoả modulo 3 và modulo 5. Từ đó đưa đến một hướng tổng quát như sau

Để tìm lời giải cho bài toán trên, chúng ta cần 2 bổ đề sau.

0.1 Bổ đề. Hệ phương trình

có nghiệm thoả a, b, c ∈ {1, . . . , p − 1} khi và chỉ khi xyz là thặng dư chính phương theo modulo p. Hơn thế nữa, hệ chỉ có hai nghiệm.

Giải. Trước tiên ta nhận thấy abc, a', b', c' không thể đồng thời cùng chia hết cho p. Thật vậy, khi đó ta giả sử a, c' chia hết cho p, mâu thuẫn với điều kiện (3).

Trường hợp 1: p - abc, p | a', b', c' và ngược lại.

Trường hợp 2: p - abca'b'c'. Trước tiên ta viết lại phương trình

Phần bình luận. Tiếp theo tôi sẽ trình bày một hướng giải tổng quát khác được thầy Lê Phúc Lữ chia sẻ trên facebook. Tuy nhiên lời giải này chưa cho ra công thức tổng quát.
Gọi Ap là tập tất cả các bộ (a, b, c, a', b', c') thoả đề bài. Ta sẽ tìm |Ap. Kí hiệu Np là tập tất cả các nghiệm của phương trình bc + b'c' ≡ 1 (mod p) và N∗

p ⊆ Np là tập tất cả nghiệm thoả b'c − bc' ≡ 0 (mod p). Lực lượng của tập Np có thể đếm được một cách dễ dàng như sau: dễ thấy (b, b') khác (0, 0) và với mỗi bộ (b, b') với b, b' ∈ {, . . . , p − 1} có đúng p cặp (c, c') thoả mãn phương trình.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET