Phương trình hàm trên tập số nguyên

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Những bài toán phương trình hàm trên tập số nguyên không âm của tác giả Trần Nam Dũng – ĐHKHTN TP HCM và Dương Bửu Lộc – THPT chuyên Trần Đại Nghĩa.

Phương trình hàm là một chủ đề quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở bậc THPT như VMO, IMO, TST,... Trước đây các bài toán phương trình hàm trên tập số thực hay phương trình hàm trên tập R chiếm ưu thế thì hiện nay dần dần có sự chuyển đổi sang các bài toán phương trình hàm trên tập số tự nhiên.

Tuy nhiên các chủ đề này vẫn chưa được khai thác sâu, các tài liệu về phương trình hàm trên tập số tự nhiên cũng ít. Do đó để hỗ trợ các bạn học sinh có một nguồn tài liệu để nghiên cứu đào sâu về chủ đề này, thầy Trần Nam Dũng cùng các cộng sự đã sưu tầm và biên soạn một tài liệu vô cùng chất lượng về phương trình hàm trên tập số tự nhiên.

Trích dẫn tài liệu:

Một phương trình hàm bao gồm 3 thành phần chính: tập nguồn (miền xác định), tập đích (miền giá trị); phương trình hay hệ phương trình hàm; các điều kiện bổ sung cho hàm số (lớp hàm). Từ ba thành phần này có những phân loại tương ứng. Phương trình hàm trên N, phương trình hàm trên R, phương trình hàm trên Z...; phương trình hàm với 1 biến tự do, 2 biến tự do, nhiều biến tự do, phương trình hàm chuyển đổi các giá trị trung bình...; phương trình hàm trên lớp hàm khả vi, phương trình hàm trên lớp hàm liên tục, phương trình hàm đa thức ...
Đây là các yếu tố quan trọng cần xét đến khi giải phương trình hàm. Điều này có thể thấy rõ qua ví dụ về phương trình hàm Cauchy. Bài toán tổng quát tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn phương trình f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y thuộc R, theo một nghĩa nào đó không có lời giải, thế nhưng với những giới hạn trên tập nguồn, tập đích, các tính chất của hàm số (đơn điệu, liên tục, đa thức...) thì phương trình này giải được trọn vẹn.
Bài này xét các phương trình hàm với các hàm số xác định trên N (hay Z, Q và các tập rời rạc khác). Để giải phương trình hàm xác định trên một tập nào đó, ta phải hiểu rõ cấu trúc và tính chất của tập hợp đó. Đối với N, ta sẽ chú ý đến những yếu tố sau: các phép toán cộng và nhân trên N; N được sắp thứ tự; thứ tự trên N là tốt; định lý cơ bản của số học về phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET