Hàm số học
Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Hàm Phi và hàm Zigma của tác giả Lê Phúc Lữ.
Hàm số học là một trong các chủ đề số học dành cho học sinh chuyên Toán THPT. Tuy nhiên dạng toán này lại không thường xuất hiện quá phổ biến trong các kỳ thi học sinh giỏi như VMO hay chọn đội tuyển các tỉnh. Cho đến dạo gần đây, một số đề thi từ các trường THPT chuyên và các Sở Giáo dục đã dần dần khai thác dạng toán này.
Để giúp các bạn học sinh có thể đào sâu và tiếp cận các bài toán này nhiều hơn, thầy Lê Phúc Lữ đã sưu tầm và biên soạn các bài toán xoay quanh chủ đề về hàm số học có khá nhiều ứng dụng đó là Hàm Phi và hàm Zigma.
Hi vọng với tài liệu mà thầy Lê Phúc Lữ đã dày công biên soạn, các bạn sẽ học tập được những điều bổ ích để phục vụ cho kỳ thi VMO năm 2022 đang đến gần.
Trích dẫn tài liệu:
Xét số nguyên dương n,
- Hàm phi(n) đếm số các số nguyên dương <= n và nguyên tố cùng nhau với n.
- Hàm zigma(n) tính tổng các ước nguyên dương của n.
Tính chất: cả hai hàm đều nhân tính, tức là f(mn) = f(m)f(n) với gcd(m, n) = 1.
Nhờ việc xét số mũ 2 trong, ta có thể ước lượng được số các ước nguyên tố lẻ của n; điều này rất hiệu quả trong nhiều bài toán giải phương trình nghiệm nguyên.
Định lý Euler. Ta có a^phi(n) = 1 (modn) với mọi cặp số a, n nguyên tố cùng nhau.
Bài 4.1. (Chọn đội tuyển chuyên ĐHSP Hà Nội) Tìm số nguyên dương n sao cho phi(n) = 2p, trong đó p là số nguyên tố lẻ lớn hơn 3.
Lời giải. Ta biết rằng nếu n có ít nhất hai ước nguyên tố thì phi(n) chia hết cho 4, còn nếu n chia hết cho 8 thì phi(n) cũng chia hết cho 4, đều không thỏa.
Nhận xét. Bài toán tương tự: Xét k là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình phi(x) = 2.3^6k+1 có đúng hai nghiệm nguyên dương phân biệt.
Bài 4.2. (PTNK TPHCM) Tìm tất cả n nguyên dương sao cho n.phi(n) - 2 chia hết cho phi(n).
Tài liệu
Tham khảo thêm
Các định lý và bổ đề trong số học ôn thi Olympic Toán - Lê Phúc Lữ: Tải tại đây.
THEO THUVIENTOAN.NET
