Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đường thẳng Nagel đi qua tâm Spieker của tác giả Lê Phúc Lữ.

Trong tam giác ABC, ta đã biết rằng trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp và tâm Euler là bốn điểm thẳng hàng quen thuộc; nhưng còn có bốn điểm quen thuộc khác cũng thẳng hàng nữa là: trọng tâm G, tâm nội tiếp I, điểm Nagel N và tâm Spierker S. Xin nhắc lại:

- Điểm Nagel là điểm đồng quy của 3 đoạn thẳng nối đỉnh và tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc tương ứng lên cạnh đối diện.
- Tâm Spierker là tâm nội tiếp của tam giác có ba đỉnh là ba trung điểm.
Ta sẽ chứng minh hai ý:
(1) I, G, N thẳng hàng.

(2) I, G, S thẳng hàng.
Để chứng minh rằng I, G, N thẳng hàng, ta có thể dùng tâm tỷ cự nhanh gọn với chú ý rằng:
I (a, b, c), G ( 1, 1, 1) và N(p - a, p - b, p - c).

Có một cách sơ cấp hơn bằng việc chứng minh bổ đề sau:
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD với E, F di động trên BA, BC sao cho AE = CF thì giao điểm của AF, CE sẽ nằm trên đường thẳng cố định, đó là phân giác của góc D.

Bài 2. (Vòng loại Sharygin 2016) Cho tam giác ABC có O, M, N lần lượt là tâm ngoại tiếp, trọng tâm và điểm Nagel. Chứng minh rằng góc MON = 90 khi và chỉ khi một trong các góc của tam giác ABC bằng 60.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET