Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2019 sở GDĐT Hà Tĩnh.

Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao cho MN song song với BC. Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho EP | AC, EC | BC, FP | AB, FB | BC.
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển.
b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng trung trực của BC đi qua trung điểm của PQ.
Bài 4. (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít nhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M.
a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M.
b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khác nhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này.

Bài 2. (5 điểm) Cho một khung sắt có hình dạng là một tứ diện đều mỗi cạnh có độ dài 1 mét. Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại đỉnh đó và di chuyển theo cạnh đó đến đỉnh tiếp theo. Với mỗi số nguyên dương n, tìm số cách đi của con bọ để nó trở lại đúng đỉnh ban đầu sau khi đã đi được đúng n mét.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET