Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và lời giải chi tiết chọn đội tuyển dự thi VMO năm 2018 sở GDĐT Hà Nội.

Đề thi gồm 5 câu, mỗi câu tương ứng 4 điểm, tổng điểm là 20 điểm.

Trích một phần đề thi:

Bài 1 (4.0 điểm). Cho x; y và z là các số hữu tỉ sao cho các số x + y^2 + z^2; y + z^2 + x^2 và z + x^2 + y^2 đều là các số nguyên. Chứng minh rằng 2x là số nguyên.

Bài 3 (4.0 điểm). Cho tam giác AB C vuông tại A với AB < AC : Gọi M là trung điểm của cạnh AB ; N là điểm trên cạnh B C sao cho BA D BN: Đường tròn đường kính AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AN C tại hai điểm phân biệt A và P : Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với MP và đường thẳng AP ; F là giao điểm của đường thẳng qua B song song với MP và đường thẳng P N: Chứng minh đường thẳng CP đi qua trung điểm của EF.

Bình luận. Các bài toán về chia đôi đoạn thẳng thường rất đẹp, ý tưởng để giải bài toán này dựa vào sự đồng dạng và trung điểm tương ứng của hai tam giác. Cái khó của bài toán này có lẽ là việc khai thác giả thiết song song và vuông góc để biến đổi góc, từ đó dẫn đến hai tam giác đồng dạng, bởi vì việc biến đổi góc rất dễ bị bỏ qua trong quá trình suy nghĩ.

Bài 5 (4.0 điểm). Với n thuộc {1; 2; 3}; ta gọi một số tự nhiên k là số kiểu n nếu:
 - k = 0;
 - hoặc k là một số hạng của dãy 1; n + 2; (n + 2)^2; (n + 2)^3; ...;
 - hoặc k là tổng của một số số hạng của dãy trên.
Chứng minh rằng bất kỳ số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET