Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Đề thi và đáp án chi tiết tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên tỉnh Nghệ An năm học 2021 - 2022.

Câu 1.
a) Giải phương trình x

b) Giải hệ phương trình

Câu 2.
a) Tìm x, y ∈ N sao cho x^3 = 1993 · 3^y + 2021.
b) Tìm số nguyên dương n để (n − 23)/(n + 89) là bình phương một số hữu tỉ dương.

Câu 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca =< 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhận xét. Bài toán gốc là bài toán của nước Belgium đề xuất trong IMO Shortlist 2009, và đã được sử dụng trong rất nhiều đề thi toán của một số tỉnh ở Việt Nam.

Câu 4. Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và không đi qua tâm O. Gọi A là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại K, đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại E (E khác A).
a) Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và HA.HD = HK.HM.
b) Tia KD cắt đường tròn (O) tại I (I khác K), đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt AM tại J. Chứng minh rằng các đường thẳng AK, BC và HJ cùng đi qua một điểm.
c) Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q phân biệt. Gọi N là trung điểm của P Q. Chứng minh rằng AN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. Cho 676 số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng có ít nhất hai số trong các số đã cho mà hiệu của chúng chia hết cho 2022.

Lời giải. Ta xét 674 số trong 676 số, trong đó mỗi số trong 674 số này đều khác 2 và 3. Suy ra tất cả các số này đều lẻ và đều chia 3 dư 1 hoặc 2.
Ta chia 674 số này vào 2 tập, tập A là các số chia 3 dư 2, tập B là các số chia 3 dư 1. Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu 1 trong 2 tập (không mất tính tổng quát, giả sử B) có nhiều hơn 337 số thì theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 337. Suy ra hiệu của chúng chia hết cho 2.3.337 = 2022.

Trường hợp 2. Nếu cả 2 tập đều có số lượng phần tử là 337 thì ta xét tập A. Vì 337 6∈ A nên các số trong tập A không chia hết cho 337. Do các số trong tập A chỉ nhận 336 số dư khi chia cho 337 nên tồn tại 2 số có cùng dư khi chia cho 337. Hiệu 2 số này chia hết cho 2.3.337 = 2022.

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

Tài liệu

Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.

THEO THUVIENTOAN.NET