Nghiệm của đa thức - Lê Phúc Lữ

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Các bài toán liên quan đến nghiệm của đa thức của tác giả Lê Phúc Lữ.

Nghiệm của đa thức là một khía cạnh quan trọng và cũng hiệu quả để xử lý các bài toán liên quan đến xác định đa thức hoặc đánh giá các tính chất của đa thức.
Ta biết rằng:
- Đa thức bậc n thì có không quá n nghiệm thực.
- Đa thức bậc lẻ thì luôn có nghiệm.
- (Bezout) Đa thức P(x) có nghiệm x = a thì P(x) =  (x - a)Q(x).
- Đa thức P(x) có các nghiệm là x1, x2,..., xk thì P(P(x)) = 0 <=> P(x) = xi với 1 =< i =< k.
Bài 3.1. (TPHCM) Cho đa thức hệ số thực P(x) có bậc 2019 và hệ số bậc cao nhất bằng 1. Biết rằng P(x) có đúng 2019 nghiệm thực phân biệt không phải là số nguyên. Giả sử mỗi đa thức P(2x^2 - 4x) và P(4x - 2x^2 đều có đúng 2692 nghiệm thực phân biệt.
a) Hỏi có bao nhiêu nghiệm của P(x) thuộc khoảng (-2;2)?
b) Chứng minh rằng tồn tại 3 đa thức cùng bậc A(x), B(x), C(x) có hệ số thực sao cho
A(x)B(x)C(x) = P(x) với mọi x thuộc R và B(x) khác  A(x)C(x) với mọi x thuộc (-1;1).

Bài 3.4. (Mock test VMO) Cho hai đa thức hệ số nguyên, monic là P(x), Q(x), trong đó degP = 3,degQ = 2. Giả sử rằng P(x) có ba nghiệm vô tỷ phân biệt có tổng bằng 0 là a, b, c đồng thời Q(a) = b.

a) Chứng minh rằng P(Q(x)) chia hết cho P(x).
b) Chứng minh rằng Q(a) + Q(b) + Q(c) = 0.

Nhận xét. Bài toán là một ứng dụng thú vị của “đa thức tối tiểu”, là đa thức nguyên bậc nhỏ nhất nhận một số vô tỷ là nghiệm.

Tài liệu

Tham khảo thêm

Đa thức đẹp nhưng có nghiệm xấu - Lê Phúc Lữ: Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET