Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác và các bài toán liên quan.

1. Giới thiệu
Bài viết này lấy cảm hứng từ bài toán của thầy Nguyễn Văn Linh đưa lên group "Hình học phẳng" liên quan đến hai điểm đẳng giác. Đã có vài lời giải đăng lên và rất nặng về phần tính toán, tuy nhiên tác giả nhận thấy hoàn toàn có thể giải dựa theo một bổ đề và từ đó các bài toán liên quan hay mở rộng cũng có thể giải quyết một cách triệt để. Vậy trước hết ta phát biểu và chứng minh hai bổ đề quan trọng sau.

2. Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác
Bổ đề 1. Trong tam giác ABC lấy hai điểm P và Q liên hợp đẳng giác với nhau. AP cắt lại đường tròn (ABC) tại R. QR cắt BC tại S. Khi đó ta có PS || AQ.

Bổ đề 2. (Phan Anh Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy hai điểm liên hợp đẳng giác P, Q. AP cắt lại (O) tại R, lấy S bất kì trên BC, RS cắt lại (O) tại M (M với B nằm khác phía so với AC). Khi đó ta có ∠P SB = ∠QMA.

3. Các bài toán
Bài 1. (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. EF cắt (O) tại hai điểm K và L. P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL. Chứng minh rằng PH chia đôi EF.

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường tròn bất kì đi qua B và C cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F. BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D. Gọi P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DEF. Chứng minh PH chia đôi EF.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET