Bổ đề chặn tích trong chứng minh Bất đẳng thức

thuvientoan.net xin giới thiệu đến bạn đọc chuyên đề Bổ đề chặn tích trong chứng minh Bất đẳng thức.

Bất đẳng thức là vấn đề luôn được các học sinh yêu thích, đây cũng là câu hỏi phân loại trong một số kỳ thi học sinh các cấp. Trong bài viết, thuvientoan.net xin giới thiệu đến bạn đọc một tính chất thú vị của biểu thức ba biến đối xứng được thầy Võ Quốc Bá Cẩn phát hiện.

Đó là “bổ đề chặn tích” – một công cụ rất mạnh để chứng mính bất đẳng thức với các bài toán ba biến đối xứng. Mỗi công cụ phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng. Bổ đề chặn tích cũng không thể tránh khỏi một số hạn chế như tính toán phức tạp và chỉ áp dụng được trong một phạm vi nhất đinh. Hi vọng với bài toán nho nhỏ này, các bạn sẽ học tập thêm được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!

Nội dung bài viết gồm ba phần:

I. Giới thiệu bổ đề.

Bổ đề 1: Cho n số x1, x2, ,,,,, xn không âm có tổng bằng n.

a) Chứng minh rằng tồn tại t thuộc [0;1) sao cho (x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2 = n + n(n-1)*t^2

b) Chứng minh rằng 1 - (n-1)t < xi < 1 + (n+1)t với i = 1, 2, ..., n.

Bổ đề 2: Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c =3. Biết a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2 với t thuộc [0;1).

a) Tính ab + bc + ca theo t.

b) Chứng minh (1+t)^2*(1-2t) <= abc <= (1-t)^2*(1+2t).

II. Các bài toán áp dụng

Bài 1. Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

3abc + 12 >= 5(ab + bc + ca)

IIi. Bài tập rèn luyện