Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p, q, r của tác giả Võ Thành Văn.
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT. Qua bài viết này, tác giả muốn cung cấp thêm cho các bạn một kỹ thuật để sử dụng tốt bất đẳng thức Schur, đó là kết hợp phương pháp biến đổi p, q, r.
Bất đẳng thức Schur
Định lý 1. Với mọi số thực không âm a, b, c, k, ta luôn có
a^k(a - b)(a - c) + b^k(b - c)(b - a) + c^k(c - a)(c - b) >= 0.
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k = 1 và k = 2.
a(a - b)(a - c) + b(b - c)(b - a) + c(c - a)(c - b) >= 0
a^2(a - b)(a - c) + b^2(b - c)(b - a) + c^2(c - a)(c - b) >= 0
Phương pháp đổi biến p; q; r
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau. Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc. Và ta thu được một số đẳng thức sau:
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq - 3r
(a + b)(b + c)(c + a) = pq - r
...
THEO THUVIENTOAN.NET
