Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bài viết về bất đẳng thức Schur và Vornicu Schur của tác giả Võ Quốc Bá Cẩn.
Bất đẳng thức Schur là một trong những bất đẳng thức "mạnh" hiện nay, tuy nhiên đối với các bạn mới bắt đầu làm quen với bất đẳng thức thì bất đẳng thức này "khá lạ lẫm" và khó sử dụng. Bài viết sau xin được giới thiệu với các bạn một số "tính năng" của Schur và "người bà con" của nó, Vornicu Schur, cũng như "sức mạnh" của chúng đối với bất đẳng thức đối xứng ba biến.
1 Các kết quả
Định lý 1 (bất đẳng thức Schur) Với mọi số không âm a, b, c, k, ta có
a^k(a − b)(a − c) + b^k(b − c)(b − a) + c^k(c − a)(c − b) ≥ 0
Định lý 2 (Vornicu Schur) Với mọi a ≥ b ≥ c ≥ 0 và x, y, z ≥ 0, bất đẳng thức
x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) ≥ 0 đúng khi
1. x ≥ y (hoặc z ≥ y).
2. ax ≥ by.
3. bz ≥ cy (nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác).
Vừa rồi tôi đã giới thiệu với các bạn xong về Schur và Vornicu Schur, tuy nhiên, định lý là như thế, các bạn ắt hẳn sẽ đặt câu hỏi là làm thế nào để đưa một bất đẳng thức về các dạng này. Bằng kinh nghiệm của mình, tôi xin được giới thiệu với các bạn 1 kỹ thuật chuyển một bất đẳng thức sang dạng Schur (có thể chưa là tối ưu).
THEO THUVIENTOAN.NET
