Bài toán bất đẳng thức hình học trong kỳ thi IMO năm 1961

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bài toán bất đẳng thức hình học trong kỳ thi IMO năm 1961.

Năm 1961 kỳ thi IMO tại Budapest - Hungary có bài toán sau:
Cho a, b, c là độ dài các cạnh và S là diện tích của một tam giác.
Chứng minh bất đẳng thức a^2 + b^2 + c^2 >= 4√3S (∗).

Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi tam giác là đều.
Bài toán này do R. Weitzenbock đưa ra năm 1919.

Trước Weitzenbock, năm 1897 I. Ionescu đưa ra bất đẳng thức sau: 

Chứng minh rằng không tồn tại tam giác thả mãn a^2 + b^2 + c^2 >= 4√3S.
Vì thế người ta còn gọi (∗) là bất đẳng thức Ionescu-Weitzenbock.

Ta chứng minh sự tương đương của các bất đẳng thức Ionescu-Weitzenbock  (∗) và Finsler-Hadwiger (∗∗).
Thật vậy, hiển nhiên từ bất đẳng thức Finsler-Hadwiger (∗∗) suy ra bất đẳng thức Ionescu-Weitzenbock  (∗).
Ta chỉ còn chứng tỏ từ bất đẳng thức Ionescu-Weitzenbock  (∗) suy ra bất đẳng thức Finsler-Hadwiger (∗∗).
Ta vẽ hình như dưới đây, trong đó AA1, BB1, CC1 là phân giác của các góc A, B, C tương ứng.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET

Liên hệ
Tin liên quan
    2020 Copyright © THUVIENTOAN.NET Web Design by Nina.vn
    Online: 15   |   Total: 141377
    Hotline tư vấn miễn phí: 0907233487
    icon zalo

    Bài toán bất đẳng thức hình học trong kỳ thi IMO năm 1961