Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bài giảng về đồ thị của đa thức và ứng dụng của tác giả Phùng Hồ Hải.
Trong kỳ thi Olympic toàn Liên bang Nga năm học 2014-2015 có bài toán sau.
Bài toán 1. Một tập hữu hạn điểm trên mặt phẳng tọa độ được gọi là thích hợp nếu chúng có hoành độ khác nhau và mỗi điểm được tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Ta nói đồ thị của một đa thức phân tách tập điểm đó nếu ở phần mặt phẳng phía trên của đồ thị chỉ có các điểm cùng một màu và ở phần mặt phẳng phía dưới của đồ thị chỉ có các điểm màu còn lại (ngay trên bản thân đồ thị có thể có các điểm của cả hai màu). Với mỗi số tự nhiên n > 1 hãy tìm số k nhỏ nhất với tính chất: với mọi bộ n điểm thích hợp, luôn tồn tại đa thức bậc không quá k mà đồ thị của nó phân tách tập điểm này.
Mục đích của bài viết này là phân tích một số tính chất của đồ thị đa thức được phản ánh trong bài toán này và một vài bài toán khác. Các bạn học sinh giỏi trước khi đọc tiếp, hãy dành thời gian để tìm cách giải bài toán trên. Bất kể bạn giải được hay không giải được nó thì việc suy nghĩ về nó sẽ làm cho việc tiếp tục đọc bài viết này có ích hơn cho các bạn.
Hàm số là một công cụ quan trọng của toán học nhằm mô tả sự phụ thuộc giữa các đại lượng trong thực tế. Ví dụ điển hình nhất là mô tả sự phụ thuộc vào thời gian của một yếu tố nào đó, ví dụ vận tốc, quãng đường, nhiệt độ, độ ẩm,...
Đa thức là một lớp hàm số đặc biệt, mà việc mô tả sự phụ thuộc của đại lượng y vào đại lượng x chỉ sử dụng các phép tính cộng trừ và nhân. Tính hữu hạn là một chất đặc trưng của đa thức để phân biệt với hàm số bất kỳ. Tính hữu hạn của đa thức được phản ánh, chẳng hạn qua việc một đa thức bậc n được xác định duy nhất bởi không quá n + 1 “đơn vị thông tin”, ví dụ đa thức được xác định bởi n + 1 hệ số của nó, hoặc giá trị của nó tại n + 1 điểm khác nhau, hoặc hệ số cao nhất và n nghiệm của nó (tính cả bội). Nói rộng ra, tính hữu hạn là đặc trưng quan trọng nhất để phân biệt đại số và giải tích.
THEO THUVIENTOAN.NET
