Dãy số và các tính chất số học

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Bài giảng về dãy số năm 2020 của tác giả Võ Quốc Bá Cẩn.

Dãy số là một chủ đề thường gặp trong đề thi học sinh giỏi môn Toán các năm. Bên cạnh yếu tố giải tích, các bài toán về tính chất số học của dãy số cũng là một nội dung được khai thác rất nhiều. Nhằm hỗ trợ các bạn học các một nguồn tài liệu chất lượng để luyện tập về chủ đề này, thầy Võ Quốc Bá Cẩn đã dầy công sưu tầm và biên soạn các bài toán về dãy số liên quan đến tính chất số học.

Đây là các bài toán mới lạ và độc đáo, được cập nhật từ các đề thi học sinh giỏi trong và ngoài nước gần đây như VMO, Canada MO, China MO, IMO, Vietnam TST. Các bài toán đều có phân tích và lời giải chi tiết giúp các bạn học tập được những kinh nghiệm quý báu mà tác giả muốn truyền đạt.

Hi vọng với tài liệu các bạn sẽ học tập được những điều bổ ích để chuẩn bị thật tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi toán sắp tới. Chúc các bạn học tốt! 

Trích dẫn tài liệu:

Bài toán 1. Canada MO 2020

Cho dãy (an) được xác định bởi a1 = 18 và an+1 = a^2n + 6an với mọi số nguyên dương n: Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy là lũy thừa đúng.

Bài toán 2. BWM 1999

Cho hai dãy nguyên dương (n) và (bn) được xác định bởi a1 = b1 = 1 và an+1 = an + bn; bn+1 = anbn với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng các số hạng của dãy (an) đôi một nguyên tố cùng nhau.

Bài toán 6.

Cho dãy (an) được xác định bởi an = 1 + [n*can2] + [n*can3] với mọi n nguyên dương.

Chứng minh rằng dãy số (an) có chứa vô hạn số chẵn và vô hạn số lẻ.

Bài toán 10. IMO Longlist 1988 

Cho dãy số nguyên (an) được xác định bởi a0 = 0; a1 = 1 và an+2 = 2an+1 + an với mọi n thuộc N. Với mỗi số tự nhiên k cho trước, chứng minh rằng an chia hết cho 2^k khi và chỉ khi n chia hết cho 2^2.

Bài toán 11. VMO 2018

Cho dãy số (xn) xác định bởi x0 = 2; x1 = 1 và xn+2 = xn+1 + xn; với mọi n >= 0:

a) Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (m; n) sao cho xn chia hết cho xm.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET