Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Định lý Wolstenholme và ứng dụng của tác giả Lê Phúc Lữ.

I) Một số kiến thức cơ bản.
1. Cho p là số nguyên tố, khi đó, ta có 2 định lý quan trọng:
(1) Wilson: (p - 1)! + 1 = 0(mod p).
(2) Fermat nhỏ: a^p-1 = 1(mod p) với (a, b) = 1.

Các định lý này có thể chứng minh dựa vào tính chất của hệ thặng dư đầy đủ (TDĐĐ), thu gọn và nghịch đảo của một số nguyên theo modulo p, cụ thể là:
2. Với mọi số nguyên i thuộc {1,2,3,...,p - 1} thì tồn tại duy nhất số j thuộc {1,2,3,...,p - 1} sao cho

ij = 1(mod p).

((a, m) = 1 thì ax + y sẽ chạy qua 1 hệ TDĐĐ của m khi x chạy qua 1 hệ TDĐĐ của m ).
Đặc biệt: i =1 => j = 1 và i = p -1 => j = p - 1.

Ta đã biết rằng một đa thức P(x) bậc n thì có tối đa n nghiệm.
Điều này vẫn đúng trong phương trình đồng dư, tức là P(x) = 0(mod m) với P(x) có bậc m cũng có tối đa m nghiệm (không có cặp nghiệm nào đồng dư với nhau theo mod m).

Bài 3. (APMO 2006) Cho p > 3 là số nguyên tố và r là số cách đặt p quân cờ lên bàn cờ hình vuông có kích thước p * p sao cho không có 2 quân cờ nào cùng hàng (nhưng có thể cùng cột). Chứng minh rằng p^5 | r.

Tài liệu

THEO THUVIENTOAN.NET