Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Định lý Ptomely và ứng dụng.

I. Định lí Ptolemy:
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Khi đó: AC.BD = AB.CD + AD.BC.

II. Bất đẳng thức Ptolemy:
Cho tứ giác ABCD. Khi đó: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.

III. Tìm hiểu sâu hơn về định lí Ptolemy:
Đầu tiên, ta đến với bài toán khá đơn giản sau đây:
Bài toán 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh rằng: AM = BM + CM.

Chứng minh:
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABMC ta có:
AM.BC = BM.AC + CM.AB.
Mà BC = CA = AB. Từ đây ta suy ra AM = BM + CM.
Chứng minh hoàn tất.
Bây giờ ta thử mở rộng bài toán bằng cách biến "đường tròn điểm" M thành đường tròn như sau:
Bài toán 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ
BC. Đường tròn (O') tiếp xúc với (O) tại M. AA', BB', CC' lần lượt là các tiếp tuyến từ A, B, C đến (O'). Chứng minh rằng: AA' = BB' + CC'

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET